FINITE STATE AUTOMATA & NON FINITE STATE AUTOMATA

Teori Bahasa dan Automata
Finite State Automata &  Non Finite State Automata
Pembahasan :
  1. Penerapan FSA
  2. DFA
  3. NDFA/NFA
  4. Ekuivalen antar DFA
  5. Reduksi Jumlah State pada FSA
1. Penerapan (FSA) 

    Finite state automata adalah mesin abstrak berupa sistem model matematika dengan masukan dan keluaran diskrit yang dapat mengenali bahasa paling sederhana (bahasa reguler) dan dapat diimplementasikan secara nyata.
  Finite State Automata (FSA) adalah model matematika yang dapat menerima input dan mengeluarkan output yang memiliki state yang berhingga banyaknya dan dapat berpindah dari satu state ke state lainnya berdasarkan input dan fungsi transisi. Finite state automata tidak memiliki tempat penyimpanan/memory, hanya bisa mengingat state terkini.
     FSH atau AH (Automata Hingga) didefinisikan sebagai pasangan 5 
Finite State Automata dinyatakan oleh pasangan 5 tuple, yaitu:
M = (Q , Σ , δ , S , F )

Q : himpunan state
Σ : himpunan simbol input
δ : fungsi transisi δ : Q × Σ
S : state awal / initial state , S ∈ Q
F : state akhir, F ⊆ Q

Contoh 1 :

    Seorang petani dengan seekor serigala, kambing dan seikat rumput berada pada suatu sisi sungai. Tersedia hanya sebuah perahu kecil yang hanya dapat dimuati dengan petani tersebut dengan salah satu serigala, kambing atau rumput. 
  Petani tersebut harus menyebrangkan ketiga bawaannya kesisi lain sungai. Tetapi, jika petani meninggalkan serigala dan kambing pada suatu saat, maka kambing akan dimakan serigala. Begitu pula jika kambing ditinggalkan dengan rumput, maka rumput akan dimakan oleh kambing. 
  Mungkinkah ditemukan suatu cara untuk melintasi cara melintasi sungai tanpa menyebabkan kambing atau rumput dimakan. 

    16 Kemungkinan Kombinasi State :



    Dari 16 kemungkinan kombinasi state, hanya 10 state yang memenuhi syarat.

    Tupel :

M = (Q , Σ , δ , S , F )

Q = {PKSR-Φ, SR-PK, PSR-K, R-PSK, S-PKR, PKR-S, PSK-R, K-PSR, PK-SR, Φ-PKSR}
Σ = {p, k, s, r}
S = PKSR – Φ
F = {Φ-PKSR}

Contoh 2 :

    Pengecek Partiti Ganjil


FSA dari bentuk diatas :
  • Lingkaran menyatakan state/kedudukan
  • Label pada lingkaran adalah nama state tersebut
  • Busur menyatakan transisi yaitu perpindahan kedudukan/state
  • Label pada busur adalah simbol input
  • Lingkaran didahului sebuah busur tanpa label menyatakan state awal
  • Lingkaran ganda menyatakan state akhir/final
Bila mesin mendapatkan input :

Input : 1101

    Urutan state yang terjadi :
Genap ---- 1 ---- Ganjil ---- 1 ---- Ganjil ---- 0 ---- Genap ---- 1 ---- Ganjil (Berakhir pada ganjil). Sehingga '1101' diterima oleh mesin.

Input : 101

    Urutan state yang terjadi :
Genap ---- 1 ---- Ganjil ---- 0 ---- Ganjil ---- 1 ---- Genap, (Berakhir pada genap). 
Sehingga '101' ditolak oleh mesin..

Tupel :


M = (Q , Σ , δ , S , F )

Q : {Genap, Ganjil}
Σ  : {0,1}
S  : Genap
F  : {ganjil}

Jenis FSA

Ada dua jenis FSA :

1. Deterministic Finite Automata (DFA) : dari suatu state ada tepat satu state berikutnya untuk setiap simbol masukan yang diterima. Deterministik artinya tertentu/sudah tertentu fungsi transisinya.

Notasi matematis DFA:

   Deterministic finite automata (DFA)  M = (Q, ∑, δ, S, F),
dimana :

Q : himpunan state/kedudukan
∑ : himpunan simbol input
∂ : fungsi transisi,
dimana ∂ ∈ Q x ∑  Q
S : State awal (initial state)
F : himpunan state akhir (Final State)

Language  L(M) : (x| ∂(S,x) di dalam F)

Contoh 1:
    Diketahui DFA :
Q : {q0, q1, q2}
δ  diberikan dalam tabel berikut :
∑ : {a, b}
S  : q0
F  : {q0, q1}

L(M) = {abababaa, aaaabab, aabababa, ...}


Penelusuran/Tracking:

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima DFA di atas:
abababaa, aaaabab , aaabbaba
Jawab :
δ (q0,abababaa) ⇒ δ (q0,bababaa) ⇒ δ (q1,ababaa) ⇒
δ (q0,babaa) ⇒ δ (q1,abaa) ⇒ δ (q0,baa) ⇒ δ (q1,aa) ⇒
δ (q0,a) ⇒ q0

Tracking berakhir di q0 (state AKHIR) ⇒ kalimat abababaa
diterima
Kesimpulan :
Sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya berakhir
di salah satu state AKHIR. 

Contoh 2 :

Tupel :
Q : {q0, q1, q2}
∑ : {a, b}
S : q0
F : {q2}



Fungsi Transisi :
δ(q0,a) = q0
δ(q0,b) = q1
δ(q1,a) = q1
δ(q1,b) = q2
δ(q2,a) = q1
δ(q2,b) = q2


Input : abb
Maka Tracking :
δ(q0,abb) = δ(q0,bb) = δ(q1,b) = q2
Karena q2 termasuk dalam state akhir, maka “abb” berada dalam L(M)

 Input : baba
Maka:
δ(q0,baba) = δ(q1, aba) = δ(q1,ba) = δ(q2,a) = q1
Karena q1, tidak termasuk state akhir, maka “baba” tidak berada dalam L(M)

 2. Non-deterministic Finite Automata (NFA) : dari suatu state ada 0, 1 atau lebih state    berikutnya untuk setiap simbol masukan yang diterima.
    Non-Deterministic Finite Automata:
  • Otomata berhingga yang tidak pasti untuk setiap pasangan state input, bisa memiliki 0 (nol) atau lebih pilihan untuk state berikutnya.
  • Untuk setiap state tidak selalu tepat ada satu state berikutnya untuk setiap simbol input yang ada.
  • Dari suatu state bisa terdapat 0,1 atau lebih busur keluar (transisi) berlabel simbol input yang sama.
  • Untuk NFA harus dicoba semua kemungkinan yang ada sampai terdapat satu yang mencapai state akhir.
  • Suatu string x dinyatakan diterima oleh bahasa NFA, M= (Q, _, d, S, F) bila {x | d (S,x) memuat sebuah state di dalam F}

Non Deterministic finite automata (NFA)  M = (Q, ∑, δ, S, F),
dimana :

Q : himpunan state/kedudukan
∑ : himpunan simbol input
∂ : fungsi transisi, dimana ∂ ∈ Q x (∑ ⋃ ε)  P(Q)
     P(Q) : set of all subsets of Q
S : State awal (initial state)
F : himpunan state akhir (Final State)

Language  L(M) : (x| ∂(S,x) di dalam F)

Berikut ini sebuah contoh NFA (Q, ∑, δ, S, F). dimana :
Q = {q 0, q1 , q2 ,q3 , q4 }
δ diberikan dalam tabel berikut :
∑= {a, b,c} 
S = q0 
F = {q4}



Sebuah kalimat di terima NFA jika :

Salah satu tracking-nya berakhir di state AKHIR, atau himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state AKHIR

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas :
ab, abc, aabc, aabb

Jawab:
δ(q0 ,ab) ⇒ δ(q0,b) ∪ δ(q1 ,b) ⇒ {q0, q2} ∪ {q1 } = {q0 , q1 , q2}
Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR ⇒ kalimat ab tidak diterima

δ(q0 ,abc) ⇒ δ(q0 ,bc) ∪ δ(q1 ,bc) ⇒ { δ(q0 ,c) ∪ δ(q2 ,c)}∪δ(q1 , c)
                     {{ q0 , q3 }∪{ q2 }}∪{ q1 } = {q0 , q1 , q2 ,q3 }

Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR ⇒ kalimat abc tidak diterima

Ekuivalensi Antar Deterministic Finite Automata 

Dua DFA M1 dan M2 dinyatakan ekuivalen apabila L(M1) = L(M2)


Reduksi Jumlah State Pada FSA
  • Reduksi dilakukan untuk mengurangi jumlah state tanpa mengurangi kemampuan untuk menerima suatu bahasa seperti semula (efisiensi)
  • State pada FSA dapat direduksi apabila terdapat useless state
  • Hasil dari FSA yang direduksi merupakan ekuivalensi dari FSA semula
Reduksi Jumlag State Pada FSA 

Pasangan State dapat dikelompokkan berdasarkan :
  • Distinguishable State (dapat dibedakan) Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan indistinguishable apabila :
          δ(q,w) ∈ F dan δ(p,w) ∈ F atau δ(q,w) ∉ F dan δ(p,w) ∉ F untuk semua w ∈ S*
  • Indistinguishable State (tidak dapat dibedakan) Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan distinguishable jika ada string w ∈ S*
          δ(q,w) ∈ F dan δ(p,w) ∉ F

Reduksi Jumlah State Pada FSA - Relasi

Pasangan dua buah state memiliki salah satu kemungkinan :
distinguishable atau indistinguishable tetapi tidak kedua-duanya.
Dalam hal ini terdapat sebuah relasi :

Jika          p dan q indistinguishable,
dan           q dan r indistinguishable
maka        p, r indistinguishable dan
                 p,q,r indistinguishable

Dalam melakukan eveluasi state, didefinisikan suatu relasi : Untuk Q yang merupakan himpunan semua state.
  • D adalah himpunan state - state distinguishable, dimana D ⊂ Q
  • N adalah himpunan state - state indistinguishable, dimana N ⊂ Q
  • maka x ∈ N jika x ∈ Q dan x ∉ D
Reduksi Jumlah State Pada FSA - Step
  • Hapuslah semua state yang tidak dapat dicapai dari state awal (useless state)
  • Buatlah semua pasangan state (p, q) yang distinguishable, dimana p ∈ F dan q ∉F. Catat semua pasangan-pasangan state tersebut.
  • Cari state lain yang distinguishable dengan aturan: “Untuk semua (p, q) dan semua a ∈ ∑, hitunglah δ (p, a) = pa dan δ (q, a) = qa” Jika pasangan (pa, qa) adalah pasangan state yang distinguishable maka pasangan (p, q) juga termasuk pasangan yang distinguishable.
  • Semua pasangan state yang tidak termasuk sebagai state yang distinguishable merupakan state-state indistinguishable.
  • Beberapa state yang indistinguishable dapat digabungkan menjadi satu state.
  • Sesuaikan transisi dari state - state gabungan tersebut.
Reduksi Jumlah State Pada FSA - Contoh

    Sebuah Mesin DFA


Reduksi Jumlah State Pada FSA - Step
  • State q5 tidak dapat dicapai dari state awal dengan jalan apapun (useless state). Hapus state q5
  • Catat state-state distinguishable, yaitu : q4 ∈ F sedang q0, q1, q2, q3 ∉F sehingga pasangan (q0, q4) (q1, q4) (q2, q4) dan (q3, q4) adalah distinguishable.
  • Pasangan-pasangan state lain yang distinguishable diturunkan berdasarkan pasangan dari langkah 2, yaitu :
          – Untuk pasangan (q0, q1)
             δ(q0, 0) = q1 dan δ(q1, 0) = q2 --> belum teridentifikasi
             δ(q0, 1) = q3 dan δ(q1, 1) = q4 --> (q3, q4) distinguishable
             maka (q0, q1) adalah distinguishable.
          – Untuk pasangan (q0, q2)
             δ(q0, 0) = q1 dan δ(q2, 0) = q1 --> belum teridentifikasi
             δ(q0, 1) = q3 dan δ(q2, 1) = q4 --> (q3, q4) distinguishable
             maka (q0, q2) adalah distinguishable.
  • Setelah diperiksa semua pasangan state maka terdapat state-state yang distinguishable : (q0,q1), (q0,q2), (q0,q3), (q0,q4), (q1,q4), (q2,q4), (q3,q4) Karena berdasarkan relasi-relasi yang ada, tidak dapat dibuktikan (q1, q2), (q1, q3) dan (q2, q3) distinguishable, sehingga disimpulkan pasangan - pasangan state tersebut indistinguishable.
  • Karena q1 indistinguishable dengan q2, q2 indistinguishable dengan q3, maka dapat disimpulkan q1, q2, q3 saling indistinguishable dan dapat dijadikan satu state.
  • Berdasarkan hasil diatas maka hasil dari DFA yang direduksi menjadi :
Sekian penjelasan dari saya, mohon maaf bila ada kesalahan dalam penulisan dan ucapan. Karena kesalahan hanya milik manusia dan kebenaran hanya milik Allah SWT. Terima kasih :)

Daftar Pustaka :





Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

TATA BAHASA BEBAS KONTEKS (POHON PENURUNAN)

Image
Teori Bahasa dan Automata Tata Bahasa Bebas Konteks Pohon Penurunan Teori Bahasa Bebas Konteks adalah suatu cara yang menunjukkan bagaimana menghasilkan untai - untai dalam sebuah bahasa. Teori bahasa bebas konteks pohon penurunan, terbagi menjadi 2 yaitu : Parsing dan Ambiguitas. 1. Parsing     Sebuah pohon ( tree ) adalah suatu graph terhubung tidak sirkuler, yang memiliki satu simpul ( node ) / vertex yang disebut akan atau root dan dari root memiliki lintasan ke setiap simpul.    Pohon penurunan ( derivation tree/parse tree ) berguna untuk menggambarkan bagaimana memperoleh suatu string (untai) dengan cara menurunkan simbol-simbol variabel menjadi simbol-simbol terminal. Proses penurunan atau parsing bisa dilakukan dengan cara:       Penurunan terkiri ( leftmost derivation ): simbol variabel terkiri yang diperluas terlebih dahulu.       Penurunan terkanan ( right derivation ): simbo...
Read more
Image
BILANGAN BINER,  OKTAL, DESIMAL DAN HEKSADESIMAL A.     Macam – Macam Bilangan 1.      Bilangan Desimal Sistem bilangan desimal atau persepuluhan merupakan sistem bilangan dengan 10 macam angka, mulai dari  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9 . Setelah angka 9, angka yang selanjutnya adalah 1 0, 1 1 dan seterusnya. Sistem bilangan desimal ini biasa dikenal sebagai sistem bilangan basis 10, karena setiap angka desimal menggunakan basis 10. Contoh penulisan :  3₍₁₀₎ 2.      Bilangan Biner Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis 2 merupakan sistem penulisan angka dengan hanya menggunakan 2 simbol saja, yakni  0 dan 1 . Sistem bilangan biner menjadi salah satu sistem bilangan dasar dari semua sistem bilangan yang berbasis digital. Dari sistem bilangan biner inilah, kita mampu melakukan konversi ke sistem bilangan oktal dan heksadesimal. Sistem ini juga bisa disebut d...
Read more